Relações métricas no triângulo retângulo

Seja ABC um triângulo retângulo em que b=AC, c=AB; D é o pé da bissetriz do ângulo em A; k=AD.
Verifica-se que:

√2/k=1/b+1/c

Relações métricas no triângulo retângulo

Seja ABC um triângulo retângulo em A. Do ponto D, qualquer, da hipotenusa tira-se DE perpendicular
a AB e DF perpendicular a AC. Verifica-se que:

DB.DC=EA.EB+FA.FC

Relações métricas no triângulo retângulo

O triângulo ABC é retângulo em A.
Seja M o ponto médio de AB. Verifica-se que a diferença dos quadrados dos segmentos CP e PB é igual ao quadrado de AC.






Para demonstrar esta proposição, consideram-se os triângulos retângulos CPM, MPB, MAC.

Relações métricas no triângulo retângulo - a divisão da hipotenusa

Num triângulo retângulo, se um cateto é o dobro do outro, então o pé da altura relativa à hipotenusa divide-a em dois segmentos, sendo o maior quádruplo do menor.






Os triângulos ABC,ACD e ABD são semelhantes. Da semelhança entre estes últimos:AC/AB=CD/AD=AD/BD. Como AB=2.AC, AD=2.CD então BD=2.AD=4.CD

Relações métricas no triângulo - o ovo

Há problemas assim:
Do triângulo ABC, prolongue-se BC e tome-se F tal que BF=4.BC. Una-se F com o ponto médio D de AB, obtendo uma recta que divide por E o lado AC. E saiba que, e não só na Páscoa, que

4.AC=7.AE





A pergunta não é Qual é o interesse disso?", mas antes Porque será?
Bom domingo para pensar nisso.

Relações métricas no triângulo - lados e medianas

De um triângulo qualquer ABC, consideremos os seus lados a, b, c e as suas medianas m,n,p. Conjecturamos que
9(a⁴+b⁴+c⁴) = 16(m⁴+n⁴+p⁴) .
Demonstre.





Nas deambulações pelos velhos livros em busca de resultados métricos sobre triângulos (para exemplos de novos exercícios e problemas a propor) sempre vamos encontrando aqueles que nos deixam espantados e nos comprovam como era e é possível apresentar propostas hilariantes. Estas propostas são tanto mais hilariantes quanto é certo que muitas delas apareceram em provas de exame. Para o resultado apresentado era pedida a demonstração duma prova de exame dos cursos técnicos franceses aplicados a aspirantes a marinheiro. Há muitos exemplos semelhantes que podem ser retirados de antigos exames portugueses (de exames de admissão à universidade, ou finais dos cursos complementares liceal e técnico, dos exames do propedêutico ou dos exames do 12º ano). Não é preciso melhor exemplo para provar que à época havia poucas bolsas para o curso em causa. Nem para as outras coisas que sempre há quem finja não terem existido no tempo em que é que era bom.
(Problèmes d'examens. Bourse des Écoles de navigation de la Marine marchande
Cluzel, Robert. La Géométrie et ses applications. Enseignement Téchnique. Librairie Delagrave. Paris:1964. )

Relações métricas no triângulo - bissetriz

1. (19/4) No triângulo ABC, sejam A', B', C' os pés das perpendiculares tiradas de um ponto P qualquer respetivamente para os lados BC, AC, AB. Verifica-se que:

AB'² +BC'²+CA'² = AC'²+CB'² +BA'²






Para a demonstração, tomam-se os segmentos PA. PB e PC e os triângulos rectângulos PAB', PCB', PBA'. etc a que se aplicam o Teorema de Pitágoras., para obter, por exemplo AB'² = PA²-PB'²....

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2.(20/4)
Num triângulo ABC, tiram-se as perpendiculares BB' e CC' à bissetriz AD do ângulo Â. Os pontos A e D são separados harmonicamente pelos pontos B' e C'.



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Relações métricas no triângulo - alturas, ortocentro

De um triângulo qualquer ABC, as alturas encontram-se no ortocentro H, ficando cada uma delas dividida em dois segmentos, por exemplo, AH e HH_a. Verifica-se que

AH.HH_a=BH.HH_b =CH.HH_c

Relações métricas num triângulo equilátero

As alturas de um triângulo equilátero têm comprimentos iguais. Tomado um ponto P variável dentro de um triângulo equilátero ABC, as distâncias de P aos lados AB, BC e CA têm soma constante igual à altura de ABC.





O que aconteceria se o triângulo fosse simplesmente isósceles?

Relações métricas no triângulo isósceles

Num triângulo isósceles ABC em que AC=BC, as distâncias de um ponto P de AB aos lados AC e BC têm soma constante.






Porquê? Constante igual a quê?

Relações métricas nos triângulos

No triângulo ABC, sejam:

• a, b, c os comprimentos dos lados
• a', b', c' as distâncias do ortocentro H respetivamente a A, B, C
• R o raio do circuncírculo
.

Verifica-se que:

a²+a'² = b²+b'² = c²+c'² = 4 R²

Relações métricas no triângulo

Num triângulo ABC, tomemos um ponto P sobre o lado BC. Os raios das circunferências definidas por ABP e ACP são proporcionais respetivamente aos lados AB e AC.

Relações métricas no triângulo - lados e pés das alturas

Num triângulo qualquer ABC, tirem-se as alturas e considerem-se os seus pés nos lados opostos a cada um dos vértices, A' pé da altura tirada de A, B' de B e C' de C. Verificam-se as seguintes relações
AB.AC'=AC.AB'

AB'.BC'.CA' = AC'.CB'.BA'




Claro que estas relações não são mais do que representantes de cada uma das famílias de relações que se obtém de outra por permutação.

Relações métricas no triângulo isósceles inscrito.

O triângulo isósceles ABC está inscrito numa circunferência.Tome-se uma corda AE que intersecte o lado BC em D
AB² = AD.AE.



A demonstração deste facto baseia-se na semelhança entre ABD e ABE que têm um ângulo comum e dois outros iguais porque inscritos em arcos iguais.
Esta relação não é mais que um caso particular da relação da entrada anterior quando o triângulo ABC então considerado é um triângulo isósceles (quando B' coincide com C').