31.12.17

Problema de construção —análise e síntese (9)


De vez em quando vamos acrescentando problemas de construção euclidiana (régua e compasso) usando um outro dos métodos já apresentados seguindo vários autores que foram sendo referenciados. Hoje resolvemos um problema de quadrados a partir da análise das propriedades de quadrados, ângulos, … triângulos isósceles,….

Problema: Construir um quadrado de que é dado um segmento de comprimento igual à soma $\;d+l"\;$ dos comprimentos da diagonal e do lado.


F.G.-M. Exércices de Géométrie…. 6ème éd., J. de Gigord. Paris:1920, Problema 41.

Análise do problema:
Com o problema resolvido, teríamos um quadrado $\;[ABCD]\;$ sendo $\;AB=BC=CD=DA=l,\; AC=BD=d.\;$ Sabemos que as diagonais de um quadrado são perpendiculares se bissetam num ponto e bissectam os ângulos retos do quadrado. Cada uma das diagonais divide o quadrado em dois triângulos rectângulos isósceles. $\;ABC, \;CDA\;$ por $\;AC\;$ e $\;DAB, \; BCD\;$ por $\;DB.\;$
O que temos é um segmento de reta de comprimento $\;d+l = \overline{AC}+\overline{CD}.\;$ Tomada uma reta qualquer e sobre ela o segmento de reta de extremos $\;A\;$ e $\;E\;$ como uma extensão da diagonal $\;AC,\;$ o vértice $\;C\;$ do quadrado é o ponto que divide $\;AE = d+l\;$ em $\;AC=d\;$ e $\;CE=l.\;$
Chamemos $\;M\;$ ao ponto médio de $\;AE,\;$ podemos construir um triângulo retângulo isósceles de hipotenusa $\;AE\;$ e catetos $\;AF, \;EF\;$ sendo $\;F\;$ a intersecção da perpendicular a $\:AE\,$ tirada por $\;M\,$ com uma semicircunferência de diâmetro $\;AE\;$. Este triângulo isósceles é meio quadrado de diagonal $\;AE\;$ Sobre o cateto $\;AF\;$ deste triângulo $\;AEF,\;$ incidirá o vértice $\;D\;$ do quadrado que procuramos. Como $\;AE\;$ é a reta da diagonal $\;AC, \;\; CD \parallel EF \perp AF\;$


A construção (sintética, a seguir) é sugerida pelas relações desveladas na análise acima feita. Pode segui-la fazendo variar os valores de $\;n\;$ no cursor $\;\fbox{n=1,..., 5}.\;$



8 janeiro 2018, Criado com GeoGebra


Considerando as considerações acima, podemos apresentar em síntese, os passos da nossa construção bem justificados.

Para $\;\fbox{n= 1}:\;$ a figura apresentada ilustra os dados $\;A, \;E,\;AE= d+l$, para além do cursor $\;\fbox{n=1,..., 5}.\;$

Para $\;\fbox{n= 2}:\;$ acrescentamos

  • o ponto $\;M\;$ médio de $\;AE\;$ e a perpendicular a $\;AE\;$ tirada por $\;M\;$ — mediatriz — (recorrendo a $\;(A, \;AE). (E,\;EA)),\;$ por exemplo).
  • o ponto $\;F\;$ numa intersecção $\; \displaystyle (\perp_M AE) . (M,\;ME)\;$ e os catetos $\;EF, \;FA\;$ triângulo retângulo isósceles de hipotenusa $\;AE.\;$

Para $\;\fbox{n= 3}:\;$ acrescentamos a bissetriz do ângulo $\; \displaystyle A\hat{E}F =\frac{\pi}{4}\;$ que determina o vértice $\;D\;$ do quadrado na sua intersecção com $\;AF. \;$ Como $\;CD \parallel EF\;$ e uma paralela a $\;EF\;$ fará um ângulo da mesma amplitude de $\; \displaystyle A\hat{E}F =\frac{\pi}{4}\;$ sendo ângulo externo do triângulo determinado por estas últimas 3 retas e igual à soma dos ângulos internos a ele não adjacentes e que devem ser de iguais amplitudes —$\;\displaystyle \frac{\pi}{8}\;$ para que os lados opostos a cada um deles sejam iguais, ou seja $\; DC=CE\;$ já que $\;C \;$ é tal que $\;AE = AC+CD=d+l. \;$

Para $\;\fbox{n= 4}:\;$ acrescentam-se

  • o ponto $\;C\;$ como $\; (\parallel_D EF).AM\;$
  • as retas $\; \displaystyle (\perp_A AF)\;$ e $\; \displaystyle (\perp_C EF)\;$
  • o ponto $\;B\;$ como intersecção $\; \displaystyle (\perp_A AF) . (\perp_C EF)\;$
  • os segmentos de reta $\; AB, \;BC, \; CD, \;DA\;$ como lados do quadrado que procurámos.

Para $\;\fbox{n= 5}:\;$ realçamos o interior do quadrado $\;[ABCD].\;$      □

28.12.17

Hoje é Dia de Aniversário do GEOMETRIAS


No dia 28 de Dezembro de 2004, publicámos a primeira mensagem neste bloGeometrias, a saber:
A primeira experiência [28/12/04]
Durante estes anos passados, recebemos mais de 1 000 000 de visitas interessadas em construções geométricas e vindas de todo o mundo - brasileiras na sua maioria. Talvez tenhamos servido de ajuda a um ou outro. Pelo nosso lado, fomos estudando geometria básica. Ao longo dos anos trabalhámos com Cinderella, ZuL (CaR), … Geogebra... e fomos sendo abandonados por problemas com servidores, programas e linguagens que a geometria e a teimosia só em parte pôde resolver. Pode ser complicado ver e manipular algumas ou muitas das nossas construções dinâmicas. Não nos é possível rever tudo. Agradecemos agora todas as críticas e sugestões. Outros processos e projectos a que nos ligámos já estão anulados pela passagem do tempo ou abandonados à sua sorte.
OBRIGADO A TODOS OS QUE NOS VISITARAM.
ESPERAMOS TER AJUDADO A PENSAR EM GEOMETRIA BÁSICA DINÂMICA.
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Enunciado do problema (adaptado):

Inscrever numa dada esfera de raio 1 um cilindro de área máxima: que dimensões para o cilindro?

O problema é citado numa carta (10.11.1642)) enviada de Fermat para Mersenne, aqui apresentado como exemplo da potência da notação de Leibniz. Nesta entrada vamos simplesmente ilustrar o problema reduzindo à determinação de um representante dos retângulos de área máxima de entre todos os que podem inscrever-se numa circunferência de raio 1, já que a superfície do cilindro é o varrimento feito pela altura a rodar em torno do eixo a passar pelos centros das bases e, por isso , a sua área é dada por um produto da altura $\;h\;$ pelo perimetro $\;2\pi r\;$ da circunferência base ou seja $\;pi b\;$ se chamarmos $\;b\;$ segunda dimensão da secção do cilindro cortado ao meio longitudinalmente por um plano a passar pelos dois centros das bases.
A 1ª figura( parte superior da janela) apresenta uma esfera de raio 1 e nela inscrito um cano cilíndrico que a atravessa. As bases do cilindro (bocas dos canos) são circunferências de diâmetros variáveis entre zero e dois que é diâmetro da esfera. Apresenta-se também o retângulo - corte longitudinal. E, claro, os valores correspondentes às dimensões de cada retângulo, bem como o valor correspondente à superfície de cada revolução cilindrica - $\; \pi .b .h\;$.

Na parte inferior da janela, apresenta-se a figura de um círculo máximo da esfera e nele inscrito um retângulo (dimensões variáveis) em que uma delas será diâmetro da base e outra a altura do cilindro (variáveis) Sabemos que $\;b: 0 < b < 2\;$ bem como $\;h: 0 < h < 2\;$ e que $\;b^2+ h^2 = 4,\;$ já que cada um dos retângulos inscritos é dividido em dois triângulos retângulos de catetos $\;b,\; h\;$ e hipotenusa igual ao diâmetro do circulo máximo (ou da esfera). Por isso os pontos $\;(b,\; h)\;$ são pontos de uma circunferência de raio $\;2\;$ e os pontos $\;b, bh\;$ são pontos de uma curva de função $$\; b \mapsto b.\sqrt{4-b^2}$$ de domínio$\;]0, 2[,\;$ cuja derivada em ordem a $\;b\;$ é $$b \mapsto \sqrt{4-b^2} - \frac{b^2}{\sqrt{4-b^2}}= \frac{4-2b^2}{\sqrt{4-b^2}}$$ tal que $$\frac{4-2b^2}{\sqrt{4-b^2}}=0 \Leftrightarrow b=-\sqrt{2} \vee b= \sqrt{2}$$ e, por isso, de entre todos os retângulos, o retângulo que tem área máxima $\;2\;$ de dimensões $\;b=h=\sqrt{2}\;$ é um quadrado.
E o cano cilíndrico que atravesssa a esfera de um metro de raio tem área lateral $\;\pi. \sqrt{2}. \sqrt{2}\; m^2 = 2\pi\; m^2\;$ que é quanto precisa de placa de lata
ou seja, de uma placa de dimensões $\;\pi \sqrt{2}\;$ metros por $\;\sqrt{2}\;$ metros □


Alexander Ostermann, Gerhard Wanner. Geometry by its History. Sprnger, p. 195,196
Cylinder with maximal surface area in a sphere.
Problem: Inscribe in a given sphere of radius $\;1\;$ a cylinder with radius $\;y\;$ and height $\;2x\;$ of maximal surface area.